✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme

Méthode

Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend  «  le plus vite  »  vers l'infini pour ensuite utiliser les règles sur les produits.

Énoncé  Cas d'une suite polynomiale

Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n^4-n^2-5\right)\) .

Solution

\(\lim\limits_{n \to +\infty}2n^4=+\infty\)  et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2-5\right)=-\infty\)
On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant en facteur `n^4`  (de façon générale, on choisit la plus grande puissance de `n`  lorsque la suite est du type polynomiale).

Pour tout entier naturel \(n \neq 0\) , on a :  \(2n^4-n^2-5=n^4\left(\displaystyle\frac{2n^4}{n^4}-\displaystyle\frac{n^2}{n^4}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)\)

soit  \(2n^4-n^2-5=n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)\) .

Passons maintenant aux calculs de limites.

\(\lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\infty\) et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=2\)

donc par produit \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=+\infty\) .